绝对节点坐标法下的梁结构动力学分析

　　摘要：文章以绝对节点坐标法为研究工具，推导了绝对节点坐标下的动力学方程，并借助Matlab编程工具，将上述理论运用于带滑块的柔性梁摆动系统的动力学分析过程中，验证了绝对节点坐标法理论的有效性，为较为复杂的空间柔性结构动力学分析提供了依据。

　　关键词：绝对节点坐标法；梁；动力学分析

　　引言

　　近年来，不少学者对柔性梁的几何非线性的问题进行了深入研究。核心期刊由于传统的对柔性多体系统动力学特性的描述方法存在着不少不足之处，为了建立精确的动力学模型，Shabana等提出了绝对节点坐标法，这一方法的提出更利于多体动力学理论与有限元理论结合，进而使得对动力学问题的研究能够更容易的进行。

　　绝对节点坐标法是研究多体系统动力学问题的重要方法之一。绝对节点坐标法中各个单元上的任一点都定义在全局坐标系下，进而使得任意一点的绝对位移表达简单，且这种方法下系统的质量矩阵为常量矩阵，不含科氏力和。这种方法下建立的多体动力学模型更精确，且在研究中建立的动力学方程也更容易求解。

　　文章在研究梁的问题时采用经典的欧拉-伯努利梁理论，即不考虑剪切变形和转动惯量，认为变形时只有弯曲变形，且变形时梁的任意一点的横截面仍与中轴线垂直。

　　1 带滑块梁的动力学分析

　　1.1 绝对节点坐标法

　　绝对节点坐标法中的单元坐标都定义在全局坐标系下，利用斜率矢量来代替转角坐标，不考虑单元的剪切变形。

　　图1 一维两节点梁单元

　　图2 带滑块的柔性梁自由落体

　　借助图1对一维梁单元用绝对节点坐标法来研究其特性。设梁的长度为l，X为沿梁单元的轴线坐标，则X的取值为[0，l]。i点和j

　　点对应的坐标分量为。在此我们选用广

　　义坐标来表示一维二节点梁

　　单元变形。

　　假设梁单元中的任一点的绝对位置为r，则r可表示为式（1）：

　　r=Nq （1）

　　1.2 动力学分析

　　如图2，滑块和梁通过铰接连接，梁长为0.3m，梁截面面积为1.6e-03m2，梁的弹性模量是70GPa，其密度为5540Kg/m3，截面惯性矩为2.133e-007m4，重力加速为9.81m/s2滑块限制在水平面上运动，杆梁以如图为初始位置做自由落体运动。

　　首先，在这种情况下因为滑块的加入，不能直接采用单根杆的相关公式。经过分析，这里认为滑块的质心与滑块和梁铰接的点重合，因此将这一结构简化为在梁的左端点加入质量块的质量，与前面单根梁的区别在于梁单元中的动能表达式不同，进而引起所推导出的广义质量矩阵不同，其他均相同。此结构的动能表达式为：

　　（2）

　　其中为x=0

　　处的形函数。

　　在单元体积内积分并对广义坐标求偏导，得出绝对节点坐标下的单元力为：

　　（3）

　　其中K是刚度矩阵，求和公式中的1，2，3为别对应X，Y，Z。

　　可以得出均布重力在绝对节点坐标下的表达式为：

　　（4）

　　最后，我们结合所建立的动力学微分方程：

　　（5）

　　在基于绝对坐标法下，通过matlab编程，将梁划分为2个单元，进行简单柔性动力学仿真。计算时间设置为2秒，计算采用ode45解微分方程。仿真分析所得端点位移和速度图如下：

　　从图3可以看出，铰接点随时间作往复运动，这就印证了系统的能量守恒。

　　图3到8反映出在上述弹性模量下，梁的刚性运动起到主要作用，柔性作用较不明显。上述采用绝对节点坐标法仿真的结果类同于刚性杆的摆动的位移以及速度曲线（这里可经过简单的分析得出，将不进行赘述），验证了绝对节点坐标法的有效性。

　　2 结束语

　　文章引入了绝对节点坐标法，基于此方法进行了动力学理论的推导。文中分析了带滑块的柔性梁摆动系统，运用了绝对节点坐标法，并借助Matlab编程工具实现了该理论。通过对带滑块的柔性梁系统的动力学仿真，验证了绝对节点坐标法的有效性和编制程序的稳定性，这将为绝对节点坐标法下的更为复杂的桁架结构的动力学分析提供了有效的分析工具。在对这一梁系统研究时认为滑块的质心与滑块和梁铰接的点重合，将这一结构简化为在梁的左端点加入质量块的质量，并从仿真结果中得出系统能量是守恒的，进而得出这一观点的正确性和有效性。

　　参考文献

　　[1]Shabana AA.Definition of the Slopes and Absolute Nodal Coordinate Formulation.Multibody System Dynamics，1997，1：339-348.

　　[2]Shabana AA. An absolute Nodal Coordinate Formulation.Multibody for the large rotation and deformation anaysis of flexible bodies.Technical Report.No.MBS96-1-UIC，University of Illinois at Chicago，1996.

　　[3]刘延柱.多刚体系统动力学[M].北京：高等教育出版社，1987.

　　[4]陆佑方.柔性多体系统动力学[M].北京：高等教育出版社，1996.

　　[5]孙智超.基于绝对节点坐标法的柔性结构动力学建模与仿真[D].西安：西安电子科技大学，2012.

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